喂给GPT-5 Pro的这篇另论文，研究的是凸优化（convex optimization）问题，凸优化是数学最优化的一个子领域，研究定义于凸集中的凸函数最小化的问题。
这里的“优化曲线”指的是函数值f(x_n)随迭代次数n变化的曲线。如果这条曲线是凸的，意味着优化速率（即相邻两次迭代的函数值下降量）是单调递减的。
凸性保证区间：当步长η ∈ (0, 1/L]时（L为平滑度），优化曲线保证是凸的；非凸可能区间：当步长η ∈ (1.75/L, 2/L)时，即使梯度下降仍单调收敛，优化曲线可能不是凸的；梯度范数性质：对于整个收敛区间η ∈ (0, 2/L]，梯度范数序列||∇f(x_n)||总是单调递减的；二阶可导凸函数的梯度流凸性：对于凸且二阶连续可导的函数，梯度流的优化曲线总是凸的；光滑凸函数的梯度流凸性：对于凸L-光滑函数（不要求二阶可导），梯度流的优化曲线总是凸的；梯度流的梯度范数单调性：对于连续时间的梯度流，优化曲线总是凸的；
论文作者巧妙地引入辅助函数g_k(t)，将离散的迭代过程转化为连续函数的积分，利用凸函数的性质证明辅助函数的单调性，通过比较相邻两个辅助函数的大小关系，最终证明优化曲线的凸性。
作者选择特定的初始点x_0 = -1.8，通过直接计算前三步迭代的函数值下降量，验证在该步长范围内，后面的下降量反而比前面大，违反了凸性要求。
再之后，GPT-5 Pro的发现还未来得及发表，论文原作者就对论文进行了更新，作者新增了一名，关键是证明了1.75/L就是一个精确界限，之前未探索的区间实现了闭合。
其思路是利用凸L-光滑函数的Bregman散度不等式，对三个点对(x_0,x_1)、(x_1,x_2)和(x_0,x_2) 分别建立不等式，之后将三个不等式分别乘以不同权重后求和，并通过恒等式将复杂的梯度项组合化简。
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📸 常文彬记者 司玉芬 摄
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